Matematicienii au petrecut mai mult de 2.000 de ani disecând structura celor cinci solide platonice – tetraedrul, cubul, octaedrul, icosaedrul și dodecaedrul – dar există încă multe despre care nu știm.
Să presupunem că stai la unul dintre colțurile unui solid platonic.
Există vreo cale dreaptă pe care ai putea s-o iei, care, în cele din urmă, te va întoarce la punctul de plecare fără a trece prin vreunul dintre celelalte colțuri?
Pentru cele patru solide platonice construite din pătrate sau triunghiuri echilaterale – cubul, tetraedrul, octaedrul și icosaedrul – matematicienii au aflat recent că răspunsul este negativ.
Orice cale dreaptă care pornește dintr-un colț va atinge un alt colț sau se va învârti pentru totdeauna fără să se întoarcă la punctul inițial.
Dar cu dodecaedrul, care este format din 12 pentagone, matematicienii nu știau la ce să se aștepte.
Acum, Jayadev Athreya, David Aulicino și Patrick Hooper au arătat că un număr infinit de astfel de căi există, de fapt, pe dodecaedru.
Lucrarea lor, publicată în Experimental Mathematics, arată că aceste căi pot fi împărțite în 31 de categorii.
Soluția a necesitat tehnici moderne și algoritmi informatici.
„Cu douăzeci de ani în urmă, această întrebare nu era absolut la îndemână.
Acum zece ani ar fi necesitat un efort enorm de a scrie toate software-urile necesare, așa că abia acum toți factorii s-au reunit”, a scris Anton Zorich, de la Institutul de Matematică din Jussieu din Paris.
Un trio de matematicieni a rezolvat una dintre cele mai de bază întrebări despre dodecaedru
Proiectul a început în 2016, când Athreya, de la Universitatea din Washington, și Aulicino, de la Brooklyn College, au început să se joace cu o colecție de decupaje de carton care se pliază în solidele platonice.
Pe măsură ce au construit diferitele solide, lui Aulicino i-a venit în minte că un corp de cercetări recente privind geometria plană ar putea fi exact ceea ce ar trebui să înțeleagă căile drepte de pe dodecaedru.
„Am pus literalmente aceste lucruri laolaltă”, a spus Athreya.
Ideea de bază este să-ți derulezi forma într-un mod care să simplifice căile pe care le studiezi.
Deci, pentru a înțelege căile drepte pe un solid platonic, ai putea începe prin tăierea unor margini suficiente pentru a face ca solidul să se întindă, formând ceea ce matematicienii numesc o plasă.
O plasă pentru cub, de exemplu, este o formă de T formată din șase pătrate.
Imaginează-ți că am aplatizat dodecaedrul și acum mergem de-a lungul acestei forme plate într-o direcție aleasă.
În cele din urmă, vom atinge marginea plasei, moment în care drumul nostru va sări către un pentagon diferit (oricare dintre acestea a fost lipit de pentagonul nostru actual, înainte de a tăia dodecaedrul).
Ori de câte ori calea sare, ea se rotește cu un multiplu de 36 de grade.
Pentru a evita toate aceste sărituri și rotiri, atunci când ajungem la o margine a plasei, am putea lipi, în schimb, o copie nouă, rotită a plasei și să continuăm direct în ea. Am adăugat o oarecare redundanță: acum avem doi pentagoni diferiți care reprezintă fiecare pentagon pe dodecaedrul original.
„Faptul că dodecaedrul are acest grup de simetrie ascuns este destul de remarcabil”
Așa că am complicat lucrurile, dar drumul nostru a devenit mai simplu.
Putem adăuga în continuare o nouă rețea de fiecare dată când trebuie să ne extindem dincolo de marginea “lumii noastre”.
Astfel, până când drumul nostru a parcurs 10 plase, ne-am rotit rețeaua originală prin fiecare multiplu posibil de 36 de grade, iar următoarea rețea pe care o adăugăm va avea aceeași orientare cu cea cu care am început.
Suprafața rezultată este o reprezentare extrem de redundantă a dodecaedrului, cu 10 copii ale fiecărui pentagon. Și este mult mai complicat: se lipește într-o formă ca o gogoșă cu 81 de găuri.
Cu toate acestea, această formă complicată a permis celor trei cercetători să acceseze bogata teorie a suprafețelor de traducere.
Analiza a fost „unul dintre cele mai distractive proiecte la care am ajuns să lucrez în toată cariera mea”, a spus Athreya.
„Este important să te joci în continuare cu lucrurile”.
Noul rezultat arată că chiar și obiectele care au fost studiate de mii de ani mai pot păstra secrete, a spus Eskin.
„Cred că, chiar și pentru noi (pentru cei trei matematicieni), a fost foarte surprinzător să spunem ceva nou despre dodecaedru”.
! Acest articol este proprietatea SafeNews.md și este protejat de legea drepturilor de autor. Orice preluare a conținutului se poate face DOAR în limită maximă de 1000 de semne. În mod OBLIGATORIU cu indicarea în TITLU a sursei citate, iar în text cu LINK ACTIV către pagina acestui articol. Preluarea integrală se poate realiza doar în condițiile unui ACORD prealabil întocmit cu redacția portalului.
